Вариационное исчисление

Из предисловия: Настоящая книга содержит учебный материал по классическим разделам вариационного исчисления: в ней излагаются основы вариационного исчисления и описываются его связи с теорией дифференциальных уравнений, механикой, геометрией, математической и теоретической физикой. Книга основана на лекциях, которые в рамках общего курса «Методы математической физики» читались автором студентам физического факультета Ленинградского университета. Помимо материала, который обычно включается в общий курс, здесь изложен также ряд вопросов вариационного исчисления, рассматриваемых, как правило, в специальных курсах. При отборе материала автор руководствовался в первую очередь стремлением удовлетворить запросы студентов, специализирующихся в области теоретической и математической физики. Автор надеется, однако, что учебник окажется полезным и для студентов других физико-математических специальностей. Читатель, знакомый с вариационным исчислением, увидит, что предпочтение отдано геометрическим и формульным вопросам. Имеет смысл отметить темы, которые уместны в книге, названной «Вариационное исчисление», но которых здесь нет. В этой книге отсутствуют все разделы вариационного исчисления, которые зависят от теории функций вещественной переменной. Как следствие, интегральные функционалы, аргументами которых являются функции нескольких переменных, в том числе квадратичные функционалы, рассматриваются только в формульном плане. Отсутствие указанных разделов соответствует замыслу учебника, но здесь, к сожалению, нет и ряда тем, созвучных с этим замыслом. Из них прежде всего должна быть упомянута теория вырожденных лагранжианов. В последние годы она привлекла внимание физиков, так как стало ясно, что лагранжианы многих интересных физических полей вырождены. Общая теория вырожденных лагранжианов не достигла, однако, такого состояния, чтобы ее можно было включить в учебник. В порядке компенсации довольно подробно рассмотрен важный специальный случай: теория функционалов, аргументами которых являются не функции, а кривые. Современный физик-теоретик не может рассматривать вариационное исчисление вне связей с континуальными интегралами Фейнмана. Хотя описание этих связей вполне созрело для элементарного учебника и посвященная им глава уже была написана, ее пришлось исключить, так как книга вышла за рамки допустимого объема...